Python+Scipy实现自定义任意的概率分布

连续变量分布

离散变量分布

二项分布Binomial Distribution

几何分布Geometric Distribution

泊松分布Poisson Distribution

Scipy自带了多种常见的分布，如正态分布、均匀分布、二项分布、多项分布、伽马分布等等，还可以自定义任意的概率分布。本文将介绍如何利用Scipy自定义任意的概率分布。

连续变量分布

考虑连续变量x满足如下概率密度分布函数:

其在实数域积分为1。我们可以通过scipy.stats中的rv_continuous类去实现这个分布，代码如下:

from scipy.stats import rv_continuous
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
class MyDistribution(rv_continuous):
    def _pdf(self, x):#概率密度分布函数
        return 2*sqrt(0.1)*exp(-0.1*x**2)*cos(x)**2/(sqrt(pi)*(exp(-10) + 1))
distribution = MyDistribution()
xlist=np.linspace(-8,8,300)
ylist=distribution.pdf(xlist)
samples=distribution.rvs(size=200);#取200次样
fig,ax=plt.subplots(figsize=(8,6))
ax.plot(xlist,ylist,lw=3,color='red',label="$\mathrm{ideal}$");
ax.hist(samples,color='blue',density=True, bins=np.arange(-8,8,0.25), histtype='barstacked', rwidth=0.9,label=r"$\mathrm{samples}$")
ax.legend(fontsize=20);
ax.set_xlabel(r"$x$",size=25)
ax.set_ylabel(r"$\mathrm{PDF}$",size=20)
ax.set_xlim(-8,8);
ax.tick_params(axis='both',direction='in',width=1.3,length=3,top=1,right=1,labelsize=20,pad=2)
fig.tight_layout();
fig.show();

运行结果如下：

增加采样次数，分布直方图逐渐趋于理想的概率分布函数P(x)。

离散变量分布

考虑连续变量x满足泊松分布，则可以用scipy.stats中的rv_discrete类去实现这个分布，代码如下:

from scipy.stats import rv_discrete
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.special import factorial
class MyDistribution(rv_discrete):
    def _pmf(self, k, mu):
        return exp(-mu)*mu**k/factorial(k)
distribution = MyDistribution()
mu=2
samples=distribution.rvs(size=500,mu=mu);#取500次样
klist = np.arange(0,10,1)
plist = distribution.pmf(klist,mu)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(klist, plist, 'ro', ms=12, mec='r',label="$\mathrm{ideal}$");
ax.hist(samples,color='blue',density=True, bins=klist, histtype='barstacked', rwidth=0.8,label=r"$\mathrm{samples}$",align="left")
ax.legend(fontsize=20);
fig.show();

运行结果如下：

可以修改上述MyDistribution类中的pmf函数，实现任意想要的离散分布。

二项分布Binomial Distribution

是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。

'''1、定义随机变量'''
# 比如5次掷硬币实验，正面朝上的次数
n2=5
x2=np.arange(1,n2+1,1)
x2

array([1, 2, 3, 4, 5])

'''2、求对应的概率质量函数 (PMF)'''
p2=0.5
pList2=stats.binom.pmf(x2,n2,p2)
# 返回一个列表，列表中每个元素表示随机变量中对应值的概率
pList2

array([0.15625, 0.3125 , 0.3125 , 0.15625, 0.03125])

'''3、绘图'''
fig=plt.figure()
# plot在此的作用为显示两个标记点
plt.plot(x2,pList2,marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
'''
plt.vlines(x2, 0, pList2)
plt.xlabel('随机变量：抛硬币5次')
plt.ylabel('概率')
plt.title('二项分布：n=%d,p2=%0.2f' % (n2,p2))
plt.show()

几何分布Geometric Distribution

在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。

'''1、定义随机变量'''
# 比如射箭1次中靶的概率为90%，射5次箭
k=5
x3=np.arange(1,k+1,1)
x3

array([1, 2, 3, 4, 5])

'''2、求对应的概率质量函数 (PMF)'''
p3=0.7
pList3=stats.geom.pmf(x3,p3)
# 返回一个列表，表示在第i次射击中，第一次射中的概率
pList3

array([0.7    , 0.21   , 0.063  , 0.0189 , 0.00567])

'''3、绘图'''
fig=plt.figure()
# plot在此的作用为显示两个标记点
plt.plot(x3,pList3,marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
'''
plt.vlines(x3, 0, pList3)
plt.xlabel('随机变量：射击5次')
plt.ylabel('概率')
plt.title('几何分布：n=%d,p=%0.2f' % (k,p3))
plt.show()

泊松分布Poisson Distribution

描述在某单位时间内，事件发生n次的概率

'''1、定义随机变量'''
# 某机器每季度发生故障平均为1次，那么在一年中机器发生10次的概率为
mu=4 # 平均值
k=10 # 要求发生10次的概率
x4=np.arange(1,k+1,1)
x4

array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])

'''2、求对应的概率质量函数 (PMF)'''
pList4=stats.poisson.pmf(x4,mu) # 一年的平均值为4
# 返回一个列表，表示1年中发生i次故障的概率
pList4

array([0.07326256, 0.14652511, 0.19536681, 0.19536681, 0.15629345,
       0.10419563, 0.05954036, 0.02977018, 0.01323119, 0.00529248])

'''3、绘图'''
fig=plt.figure()
# plot在此的作用为显示两个标记点
plt.plot(x4,pList4,marker='o',linestyle='None')
'''
vlines用于绘制竖直线(vertical lines),
参数说明：vline(x坐标值, y坐标最小值, y坐标值最大值)
'''
plt.vlines(x4, 0, pList4)
plt.xlabel('随机变量：发生k次故障')
plt.ylabel('概率')
plt.title('泊松分布：n=%d' % k)
plt.show()