64..如图1，△PMN中，PM=PN，⊙O是△PMN的外接圆，Q为⊙O上一点，QM交PN于R，MN^2=PN×NR，S为△MNR的内心，若∠Q=30°，⊙O的半径为3＋√3，求OS的长.
图1
（1）由MN^2=PN×NR证明∠QMN=∠P=∠Q得底角为30°的等腰△NMQ；
（2）连ON，证S必在ON上；
（3）作ST⊥MN，在等边△OMN和含30°锐角Rt△SNT中，利用边角关系求出内切圆⊙S的半径，进而求出OS.
图2
第一步 MN^2=PN×NR
=＞MN：PN=NR：MN
且∠MNR=∠PNM=＞△MNR∽△PNM
=＞∠NMR=∠NPM=∠Q=30°
=＞NQ=NM且N为弧QNM的中点；
第二步 连ON，N为弧QNM的中点
=＞ON⊥QM，垂足为U，又NQ=NM
=＞ON平分∠MNQ=＞S在ON上；
第三步 连OM，作ST⊥MN，T为垂足，∠P=30°
=＞∠MON=60°且OM=ON
=＞等边△MON=＞OM=ON=MN=3＋√3
=＞Rt△MNU中，∠NMU=30°
=＞NU=1/2MN=（3＋√3）/2；
在Rt△NST中，∠NST=30°=＞设ST=r，
则SU=r，NT=r/√3，NS=2NT=2r/√3
NU=NS＋SU=＞（3＋√3）/2=r＋2r/√3
解得r=3（√3－1）/2=＞NS=3－√3
OS=ON－NS=（3＋√3）－（3－√3）=2√3.
1.几何计算题都有夹叙夹议风格，兼具证明与计算，解答过程显得琐碎，因而书写过程要详略得当，突出关键细节。本题中解答中S为什么在ON上是得分点之一，必须详细写出，但实际中学生很容易忽视而失分。
2. 本题构图十分复杂，计算中要涉及7个三角形，分别是相似△MNR和△PNM，顶角为30°的等腰△PMN，底角为30°的等腰△NMQ，等边△MON，含30°的直角三角形NST和NMU需要较强的观察能力和综合能力。
3. 建立方程求内切圆半径r，方程等量关系NU=NS＋SU三条线段统一用r表示，在复杂的构图中发现线段间的数量关系并不容易，也需要较强的观察能力和综合能力。
4. 建立方程求内切圆半径r，也可利用△NQM面积=内心分△NQM所得三个三角形面积之和建立方程来求r（过程略）.
