numpy稀疏矩阵的实现

1. coo存储方式

2. dok_matrix

3. csr和csc存储方式

4. lil_matrix

5. dia_matrix

6. 稀疏矩阵经验

1. coo存储方式

采用三元组(row, col, data)(或称为ijv format)的形式来存储矩阵中非零元素的信息。

coo_matrix的优点：有利于稀疏格式之间的快速转换（tobsr()、tocsr()、to_csc()、to_dia()、to_dok()、to_lil()；允许重复项（格式转换的时候自动相加）；能与CSR / CSC格式的快速转换

coo_matrix的缺点：不能直接进行算术运算，包括赋值

初始化方式：

coo_matrix(D), D代表密集矩阵

赋值：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import coo_matrix
>>> _row  = np.array([0, 3, 1, 0])
>>> _col  = np.array([0, 3, 1, 2])
>>> _data = np.array([4, 5, 7, 9])
>>> coo = coo_matrix((_data, (_row, _col)), shape=(4, 4), dtype=np.int)
>>> coo.todense()  # 通过toarray方法转化成密集矩阵(numpy.matrix)
>>> coo.toarray()  # 通过toarray方法转化成密集矩阵(numpy.ndarray)
array([[4, 0, 9, 0],
       [0, 7, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 5]])

2. dok_matrix

dok_matrix，即Dictionary Of Keys based sparse matrix，是一种类似于coo matrix但又基于字典的稀疏矩阵存储方式，key由非零元素的的坐标值tuple(row, column)组成，value则代表数据值。dok matrix非常适合于增量构建稀疏矩阵，并一旦构建，就可以快速地转换为coo_matrix。

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import dok_matrix
>>> np.random.seed(10)
>>> matrix = random(3, 3, format='dok', density=0.4)
>>> matrix[1, 1] = 33
>>> matrix[2, 1] = 10
>>> matrix.toarray()
array([[ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 0.        , 33.        ,  0.        ],
       [ 0.19806286, 10.        ,  0.22479665]])
>>> dict(matrix)
{(2, 0): 0.19806286475962398, (2, 1): 10.0, (2, 2): 0.22479664553084766, (1, 1): 33.0}
>>> isinstance(matrix, dict)
True

3. csr和csc存储方式

csr_matrix，全称Compressed Sparse Row matrix，即按行压缩的稀疏矩阵存储方式，由三个一维数组indptr, indices, data组成。这种格式要求矩阵元「按行顺序存储」，「每一行中的元素可以乱序存储」。那么对于每一行就只需要用一个指针表示该行元素的起始位置即可。indptr存储每一行数据元素的起始位置，indices这是存储每行中数据的列号，与data中的元素一一对应。
csr_matrix，是按列压缩，不再赘述

csr_matrix的优点：
高效的算术运算CSR + CSR，CSR * CSR等
高效的行切片
快速矩阵运算

csr_matrix的缺点：
列切片操作比较慢（考虑csc_matrix）
稀疏结构的转换比较慢（考虑lil_matrix或doc_matrix）

>>> import numpy as np
>>> from scipy.sparse import csr_matrix
>>> indptr = np.array([0, 2, 3, 6])
>>> indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])
>>> data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])
>>> csr = csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray()
array([[1, 0, 2],
       [0, 0, 3],
       [4, 5, 6]])

4. lil_matrix

lil_matrix，即List of Lists format，又称为Row-based linked list sparse matrix。它使用两个嵌套列表存储稀疏矩阵：data保存每行中的非零元素的值，rows保存每行非零元素所在的列号(列号是顺序排序的)。
LIL matrix本身的设计是用来方便快捷构建稀疏矩阵实例，而算术运算、矩阵运算则转化成CSC、CSR格式再进行，构建大型的稀疏矩阵还是推荐使用COO格式。

5. dia_matrix

dia_matrix，全称Sparse matrix with DIAgonal storage，是一种对角线的存储方式。如下图中，将稀疏矩阵使用offsets和data两个矩阵来表示。

>>> data = np.arange(15).reshape(3, -1) + 1
>>> offsets = np.array([0, -3, 2])
>>> dia = sparse.dia_matrix((data, offsets), shape=(7, 5))
>>> dia.toarray()
array([[ 1,  0, 13,  0,  0],
       [ 0,  2,  0, 14,  0],
       [ 0,  0,  3,  0, 15],
       [ 6,  0,  0,  4,  0],
       [ 0,  7,  0,  0,  5],
       [ 0,  0,  8,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  9,  0]])

6. 稀疏矩阵经验

要有效地构造矩阵，请使用dok_matrix或lil_matrix
lil_matrix类支持基本切片和花式索引，其语法与NumPy Array类似；lil_matrix形式是基于row的，因此能够很高效的转为csr，但是转为csc效率相对较低。
要执行乘法或转置等操作，首先将矩阵转换为CSC或CSR格式，效率高
CSR格式特别适用于快速矩阵矢量产品
CSR，CSC和COO格式之间的所有转换都是线性复杂度。

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